betrachtet. Vereinfachend werde ein vierelementiger Zustandsraum Z = {z1,z2,z3,z4} angenommen mit
z1/2/3/4 = Kassakurs am Ultimo ist 65, – /70, – /75, – /80, –
Die Zustandswahrscheinlichkeiten seien

Schließlich sei als Ergebnis der Aktion der jeweilige Gewinn unter Vernachlässigung von Transaktionskosten und Steuern verstanden. Infolgedessen entspricht a der Zufallsvariablen Xa

1. Klassische Entscheidungsprinzipien

a und Xb. Die klassischen Entscheidungsprinzipien postulieren, dass für die Präferenz bzw. Indifferenz zwischen zwei Zufallsvariablen nicht die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung, sondern nur einige wenige Verteilungskennzahlen maßgeblich sind. Spielt nur der Erwartungswert μ eine Rolle, so spricht man vom μ-Prinzip. Das prominenteste klassische Entscheidungsprinzip besagt jedoch, dass sowohl der Erwartungswert μ als auch die Standardabweichung σ für die Bestimmung der Rangfolge zwischen den Aktionen relevant sind. Dementsprechend heißt das Prinzip auch das (μ, σ)-Prinzip.
In Anbetracht der vielen weiteren denkbaren Verteilungsparameter (Median, Modalwert, Schiefe, Wölbung, Verlustwahrscheinlichkeit, Verlusterwartungswert, Semivarianz, Spannweite, Risikomaße, Minimum, Maximum usw.) sowie der Möglichkeit, diese allein zu betrachten, zu Gruppen von je zwei, je drei,? zusammenzufassen, erkennt man, dass es so viele klassische Entscheidungsprinzipien gibt, wie die Phantasie reicht. Hinzu kommt noch ein weiterer Spielraum für die Phantasie. Denn die Zugrundelegung eines klassischen Entscheidungsprinzips setzt nur einen Rahmen. Eine definitive Rangfolge der zur Debatte stehenden Aktionen erhält man erst, wenn genau festgelegt ist, wie die relevanten Verteilungsparameter zu einer Bewertungsziffer kombiniert werden. Erst diese letztere Festlegung macht aus dem Entscheidungsprinzip eine Entscheidungsregel. Betrachten wir dazu wieder das (μ,σ)-Prinzip und bezeichnen wir die gemäß der jeweiligen Entscheidungsregel gebildete Bewertungs- oder Güteziffer mit Φ(μ,σ), so sind beispielsweise Φ(μ,σ) = μ- 0,15 ·σ oder Φ(μ,σ) = μ – 0,03 ·σ2 denkbare Entscheidungsregeln. Gilt für die Ergebnisse der risikobehafteten Aktionen „ je größer, desto besser “ , was bei Renditen, Gewinnen, Endvermögen usw. zutrifft, so sollte eine plausible (μ,σ)-Regel die Eigenschaften haben, daß Φ(μ,σ) monoton mit μ steigt und mit σ fällt.
Die zweite Eigenschaft drückt Risikoaversion des Entscheidungsträgers aus. Beim Vergleich einer Zufallsvariablen X mit dem sicheren Ergebnis in Höhe von μ = E(X) präferiert er Letzteres: E(X) X.
Denn die sichere Alternative hat die Bewertungsziffer Φ(μ,0), wohingegen X nur die kleinere Bewertungsziffer Φ(μ,σ) besitzt. Obige (μ,σ)-Regeln erfüllen beide Plausibilitätsforderungen. Man wird sich häufig für das sichere Ergebnis s interessieren, sodass der Entscheidungsträger indifferent zwischen s und X ist: s ~ X. Dieses s bezeichnet man als Sicherheitsäquivalent von X. Risikoaversion liegt demnach vor, wenn das Sicherheitsäquivalent kleiner als E(X) ist; der Entscheidungsträger gibt sich mit einem Ergebnis zufrieden, das kleiner als der Erwartungswert ist. Gilt umgekehrt s > E(X), so bezeichnet man das Verhalten als risikofreudig. Gilt schließlich stets s = E(X), so liegt Risikoneutralität vor. In der Portfoliotheorie müssen risikofreudige (sowie risikoneutrale) Akteure aus folgendem Grunde ausgeklammert werden: Existieren beispielsweise eine risikobehaftete Anlagemöglichkeit mit einer erwarteten Rendite von 10% und ein risikofreier Zinssatz von 8% (zu dem beliebige Beträge ge- oder verliehen werden können), so würde ein risikofreudiger oder risikoneutraler Investor einen beliebig hohen Kredit aufnehmen und das Geld risikobehaftet anlegen. Es gäbe mithin weder eine optimale Kombination von risikobehafteter und risikofreier Anlage noch ein Kapitalmarktgleichgewicht. Bei risikoaversen Investoren existieren keine derartigen Probleme. Das optimale Portfolio kann im Prinzip einfach bestimmt werden; eine graphische Darstellung ist in Abb. 1 zu finden. In der Abbildung wurden ausschließlich risikobehaftete Portfolios berücksichtigt. Wegen der vielfältigen Ergänzungen (risikofreie Anlage, Leerverkäufe, differierender Soll- und Habenzins usw.) sei auf Standard-Lehrtexte zur Finanz- und Kapitalmarktheorie verwiesen (beispielsweise auf Uhlir, H./Steiner, P. 1994; Spremann, K. 1996; Kruschwitz, L. 1999; Franke, G./Hax, H. 1999; Perridon, /Steiner, 1999).

Abb. 1: Jedem Portfolio entspricht ein Punkt der (σ,μ)-Ebene. Der Tangentialpunkt der Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve bestimmt das optimale Portfolio.

2. Das Bernoulli-Prinzip

Bei der Diskussion der klassischen Entscheidungsregeln wurde auf den großen Spielraum (bzw. die Willkür) bei der Fixierung einer Regel hingewiesen. Trotz dieses Spielraumes ist jede der auswählbaren Entscheidungsregeln mit einer relativ großen Inflexibilität behaftet. So müssen bei einer (μ,σ)-Regel Ergebnisverteilungen zwangsläufig als gleichwertig gelten, wenn sie in Bezug auf diese beiden Parameter übereinstimmen. Man kann leicht Beispiele konstruieren, bei denen diese Indifferenz weder plausibel noch empirisch gestützt ist.
Das Bernoulli-Prinzip besitzt diesen Mangel an Flexibilität nicht, da es die Ergebnisverteilung in ihrer Gesamtheit einbezieht. Es ist nach Daniel Bernoulli benannt, der bereits 1738 zutreffend erkannt hatte, dass die alleinige Orientierung am Ergebniserwartungswert reales Verhalten nicht adäquat beschreibt und dass eine für den Entscheidungsträger typische Einstellung zum Risiko mit einbezogen werden muss. Das Bernoulli-Prinzip (im Englischen „ expected utility hypothesis “ ) besagt:
Es gibt für jeden Entscheidungsträger eine (auf der Menge aller Ergebnisse definierte und bis auf eine wachsende lineare Transformation eindeutige) Nutzenfunktion u mit der Eigenschaft, dass die verschiedenen Aktionen aufgrund des zugehörigen Nutzenerwartungswertes beurteilt werden.
Die nachfolgenden Bemerkungen sollen diese abstrakt wirkende Aussage kommentieren und verständlicher machen.
a) Sind Xa und Xb die zu den risikobehafteten Aktionen a und b gehörenden Zufallsvariablen, so besagt das Bernoulli-Prinzip
a ≻ b     genau dann wenn E u(Xa) > E u(Xb),
a ~ b     genau dann wenn E u(Xa) = E u(Xb);
d.h. die Bewertungsfunktion Φ, die jeder Aktion a eine Güteziffer zuordnet, besitzt beim Bernoulli-Prinzip die Form
Φ(a) = E u(Xa).
b) Betrachten wir beispielsweise die eingangs dieses Kapitels präzisierte Aktion a (= Kauf von 100 DaimlerChrysler-Aktien und Verkauf zum Jahresultimo), so bestimmt sich der Nutzenerwartungswert gemäß

was sich bei konkret gegebener Funktion u unschwer als reelle Zahl ausrechnen lässt.
c) Die im Vergleich zu den klassischen Entscheidungsprinzipien erhöhte Flexibilität entsteht dadurch, dass jedes einzelne Ergebnis x in eine (subjektive) Größe u(x) transformiert werden kann. Es mag der Verdacht aufkommen, dass es sich beim Bernoulli-Prinzip infolge dieser großen Flexibilität um ein tautologisches Konzept handeln könnte. Dass dies nicht der Fall ist, zeigen Beispiele, bei denen die vom Entscheidungsträger geäußerte Präferenz zwischen risikobehafteten Aktionen dem Bernoulli-Prinzip widersprechen kann. Geht man andererseits von der Gültigkeit des Bernoulli-Prinzips aus, so lässt sich aus dem Verhalten von Entscheidungsträgern in sehr einfach strukturierten Entscheidungssituationen die Funktion u empirisch ermitteln. Wegen Details sei auf die Literatur verwiesen (beispielsweise auf Bitz, M. 1981; Schneeweiß, Ch. 1991; Bamberg, G./Coenenberg, A.G. 2000).
d) Das Bernoulli-Prinzip kann aus einigen Rationalitätspostulaten (für die Präferenzordnung zwischen den Zufallsvariablen) gefolgert werden. Einige Postulate sind vom normativen Standpunkt aus sehr natürlich und fast zwingend. Einige andere sind umstritten und haben einen geringeren normativen Gehalt. Wiederum sei auf die eben zitierte Literatur verwiesen.
e) Ist die Bernoulli-Nutzenfunktion u streng monoton wachsend und stetig, so kann das Sicherheitsäquivalent s folgendermaßen dargestellt werden:
s = u – 1 [E u(X)].
f) Als (lokale) Maßzahl für den Grad der Risikoaversion wird im Rahmen des Bernoulli-Prinzips das Arrow-Pratt-Maß

verwendet. Es ist positiv für risikoaverse, negativ für risikofreudige und gleich Null für risikoneutrale Entscheidungsträger. Je größer die Funktion r(x) ist, desto größer ist der Unterschied zwischen E(X) und dem Sicherheitsäquivalent s und damit die als Risikoprämie bezeichnete Differenz E(X) – s. Für risikoneutrale Entscheidungsträger ist die Risikoprämie gleich Null.
g) In den Journalen „ Zeitschrift für Betriebswirtschaft “ und „ Zeitschrift für betriebswirtschaftliche Forschung “ , neuerdings auch in der „ Betriebswirtschaftlichen Forschung und Praxis “ sowie dem „ OR Spektrum “ , fanden verschiedene Diskussionsrunden statt, wobei es um die Sinnhaftigkeit des Bernoulli-Prinzips, die Interpretation von u und schließlich um den Zusammenhang von u(x) mit den Werten h(x) der (ohne Bezugnahme auf Risikoaspekte) auf den Ergebnissen x definierten kardinal messenden Höhenpräferenzfunktion h ging. Die Kritiker des Bernoulli-Prinzips verfochten den Standpunkt, dass aus logischen Gründen u(x) = h(x) gelten muss. Definiert man die Ergebnisse richtig, d.h. als h(x) und nicht als x, so reduziert sich der Nutzenerwartungswert des Bernoulli-Prinzips auf den schlichten Erwartungswert der (richtig aufgefassten) Ergebnisse. Infolgedessen ist das Bernoulli-Prinzip nicht in der Lage, verschiedene Einstellungen gegenüber dem Risiko zu erfassen. Vielmehr kann es nur Risikoneutralität ausdrücken und ist damit unflexibler als die meisten klassischen Prinzipien. Die „ Kritiker der Kritiker “ wiesen jedoch nach, dass u(x) = h(x) nicht aus logischen Gründen zwingend folgt. Deshalb kann das Bernoulli-Prinzip sehr wohl eine breite Palette unterschiedlicher Einstellungen gegenüber dem Risiko abbilden. (Wegen einer ausführlichen Darstellung dieser Diskussion sei verwiesen auf Kürsten, W. 1992; Dyckhoff, H. 1993; Bamberg, G./Coenenberg, A.G. 2000.)

3. Weitere Entscheidungsprinzipien bei Risiko

Wohl bei jedem Entscheidungsprinzip kann man geeignete Situationen konstruieren, in der die Mehrzahl der Entscheidungsträger gegen das auf dem Prüfstand befindliche Prinzip verstoßen. Auch beim Bernoulli-Prinzip hat es seit der in den frühen 1950er-Jahren von Allais vorgebrachten Kritik nicht an derartigen Versuchen gemangelt (Allais, M. 1953). Diese Experimente gaben oft den Anstoß für alternative Theorien, für die allerdings auch wieder empirische oder theoretische Kritikpunkte gefunden wurden. Relativ bekannt wurden die „ duale Theorie “ sowie die „ rank dependent expected utility “ -Theorie. (Wegen einer ausführlichen Darstellung sei beispielsweise auf Weber, M./Camerer, C. 1987; und Trost, R. 1991 verwiesen.)

III. Entscheidungen bei Ungewissheit

Wenn keine Wahrscheinlichkeiten für die „ Kalkulation des Risikos “ zur Verfügung stehen, bleiben im Wesentlichen nur die beiden Möglichkeiten,
a) die effizienten Aktionen auszusondern und als gleichwertige Lösungen zu offerieren;
b) mittels einer speziellen Entscheidungsregel alle Aktionen in einer Rangfolge zu bringen (und damit auch „ den Spitzenreiter “ zu identifizieren).
Dabei heißt eine Aktion effizient, wenn keine der restlichen Aktionen bzgl. aller Zustände mindestens so gut und bzgl. eines Zustands (oder auch mehrerer Zustände) besser ist als die fragliche Aktion. Es sei wieder das Eingangsbeispiel von Kapitel II betrachtet. Die Aktion a (Kauf von 100 DaimlerChrysler-Aktien) wird nun als a1 bezeichnet. Zusätzlich seien

Damit erhält man die Entscheidungsmatrix

aus der man ersieht, dass alle drei Aktionen effizient sind.
Bezeichnen wir zur Darstellung der exemplarisch betrachteten Entscheidungsregeln die Elemente der Entscheidungsmatrix mit uij, so ist die Maximin-Regel durch die Bewertung
Φ (ai) = min uij
j
definiert, die Maximax-Regel durch
Φ (ai) = max uij,
j
die Hurwicz-Regel mit dem Optimismus-Parameter λ ∊ [0,1] durch
Φ (ai) = λ max   uij + (1-λ) min  uij,
j j
sowie die Savage-Niehans-Regel durch die (zu minimierende) Bewertungsziffer
Φ (ai) = max  (max ukj  – uij) .
j k
Eine ausführliche Diskussion des Pro und Contra sowie weitere Regeln sind in der Literatur zu finden (beispielsweise in Bitz, M. 1981; Dinkelbach, W. 1982; Mag, W. 1990; Laux, H. 1998; Homburg, C. 2000; Bamberg, G./Coenenberg, A.G. 2000). Für unser Beispiel ersieht man, dass a1 optimal bzgl. der Maximax-Regel sowie bzgl. der Hurwicz-Regel mit Optimismus-Parameter λ = 0,5 ist. Bezüglich der Savage-Niehans-Regel ist dagegen a2 optimal. Schließlich ist a3 optimal bzgl. der Maximin-Regel.
Literatur:
Allais, M. : Le comportement de l\'homme rationel devant le risque: Critique des postulats et axiomes de l\'école américaine, Econometrica 21, 1953, S. 503 – 546
Bamberg, G. : Statistische Entscheidungstheorie, Würzburg/Wien 1972
Bamberg, G./Coenenberg, A.G. : Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, 10. A., München 2000
Bitz, M. : Entscheidungstheorie, München 1981
Dinkelbach, W. : Entscheidungsmodelle, Berlin/New York 1982
Dyckhoff, H. : Ordinale versus kardinale Messung beim Bernoulli-Prinzip: Eine Analogiebetrachtung von Risiko- und Zeitpräferenzen, OR Spektrum 15, 1993, S. 139 – 146
Franke, G./Hax, H. : Finanzwirtschaft des Unternehmens und Kapitalmarkt, 4. A., Berlin et al. 1999
Homburg, C. : Quantitative Betriebswirtschaftslehre, 3.A., Wiesbaden 2000
Kofler, E. : Prognosen und Stabilität bei unvollständiger Information, Frankfurt/New York 1989
Kofler, E./Menges, G. : Entscheidungen bei unvollständiger Information, Berlin et al. 1976
Kruschwitz, L. : Finanzierung und Investition, 2. A., München/Wien 1999
Kürsten, W. : Präferenzmessung, Kardinalität und sinnmachende Aussagen, ZfB 62, 1992, S. 459 – 477
Laux, H. : Entscheidungstheorie, 4. A., Berlin et al. 1998
Mag, W. : Grundzüge der Entscheidungstheorie, München 1990
Perridon, L./Steiner, M. : Finanzwirtschaft der Unternehmung, 10. A., München 1999
Schneeweiß, Ch. : Planung I, Berlin et al. 1991
Schneeweiß, Ch. : Planung II, Berlin et al. 1992
Schneeweiß, H. : Entscheidungskriterien bei Risiko, Berlin et al. 1967
Schneider, D. : Investition, Finanzierung und Besteuerung, 7. A., Wiesbaden 1992
Spremann, K. : Wirtschaft, Investition und Finanzierung, 5. A., München/Wien 1996
Trost, R. : Entscheidungen unter Risiko: Bernoulli-Prinzip und duale Theorie, Frankfurt a.M. et al. 1991
Uhlir, H./Steiner, P. : Wertpapieranalyse, 3. A., Berlin/New York 1994
Weber, M. : Ambiguität in Finanz- und Kapitalmärkten, ZfbF 41, 1989, S. 447 – 471
Weber, M./Camerer, C. : Recent Developments in Modelling Preferences under Risk, OR-Spektrum 9, 1987, S. 129 – 151
Wilhelm, J. : Zum Verhältnis von Höhenpräferenz und Risikopräferenz – eine theoretische Analyse, ZfbF 38, 1986, S. 467 – 492